Bir Sayıyı Neden Sıfıra Bölemezsiniz?

Matematik üzerinde uzun zamandır düşünmemiş olsanız bile, şu kuralı mutlaka hatırlıyorsunuzdur: Bir sayıyı sıfıra bölemezsiniz. Bunu yapmak imkansızdır. Fakat bunun neden imkansız olduğunu hiç düşündünüz mü? Sonuçta; bir pizzayı hiçbir şeye bölerseniz, elinizde yine bir pizza olur. Görünüşe göre bir sayıyı sıfıra bölerseniz, bir cevap elde etmiyorsunuz; bu cevap, çok kullanışlı bir cevap değil.

Mesela 10 sayısını sıfıra böldüğünüzde elinize ne geçtiğini düşünmek için; 10’u 5’e bölmekle başlayalım. Bu işlemin cevabı 2 olur. Peki ya 10’u daha ufak bir rakamla, 2’yle bölseydiniz ne olurdu? Daha büyük bir sayı olan 5’i elde ederdiniz. Peki ya 10’un 1’e bölünmesi? Yine daha büyük bir rakam çıkar: 10. ½’ye bölünen 10, 20 eder. ¼’e bölündüğü zaman 40; 1/32’e bölündüğü zamansa 320 yapar. Ne zaman daha ufak bir sayıya bölseniz, karşılığında daha büyük bir sayı elde edersiniz. Yani, bölen sayı 0’a ne kadar yaklaşırsa; cevabınız o kadar sonsuzluğa yaklaşır. Bu yüzden aslında 10’u 0’a bölseydiniz, sonsuzluk elde ederdiniz değil mi?

Tam olarak böyle değil. Neden mi? Nasıl olduğunu görelim…

10 ÷ 0 = ∞

Eğer yukarıdaki ifade doğruysa, o zaman şu ifadenin de doğru olması gerekir:

10 = ∞ x 0

Fakat 0 ile çarpılan bir şeyin sıfır olduğunu; bunun ise 10 = 0 anlamına geleceğini biliyoruz. Bu durum, bildiğimiz şekliyle matematikte doğru değil. Bu yüzden, başlangıçtaki eşitlikle ilgili yanlış bir şeyler olmalı; sıfıra bölünen 10, sonsuzluk olmamalı.

Fakat bir başka sorun daha var. Böldüğünüz sayı ne kadar ufalırsa, aldığınız cevabın o kadar büyüdüğünü hatırlıyor musunuz? O halde 10’u 5’e bölmek yerine, 10’u -5’e bölseydik ne olurdu? O zaman -2 elde ederdiniz. 10’u -2’ye bölmek size -5’i veriyor ve 10’u -1’e bölünce -10 elde ediyorsunuz. Sıfıra doğru giden negatif sayılarla bölme yapmak, negatif sonsuzluğa giden negatif sayılar veriyor. Bu yüzden, 0’a bölünen 10’un sonsuzluk olduğunu söylemek isteseydiniz (zaten bunu yapamayacağınızı gördünüz); bunun aynı zamanda negatif sonsuzluk olduğunu da söylemeniz gerekirdi. Hem negatif hem de pozitif sonsuzluğa denk olan bir denklem, pek kullanışlı bir şey değil.

Bu durum, sıfıra bölünen sayı cevabının “tanımsız” olduğu anlamına geliyor. Buna atfedilen bir değer yok. Böyle bir şey yok. “10 bölü sıfır neye eşittir?” sorusunun cevabı, “bir elin sesi nasıldır?” veya “evren neye doğru genişliyor?” sorusunun cevabıyla aynı. Soru mantıklı değil; bu yüzden cevap, herhangi bir gerçek bilgi içermiyor. Tanımı yok.

Fakat bekleyin; matematikçiler bu işi burada bırakmış olamaz. Aslında sıfıra bölmenin bir yolu var; bunu yapmak için, bazı karmaşık rakamlara gömülmeniz gerekiyor.

Düşünün ki, tüm yönlerde sonsuzluğa giden ve ortada bir merkezi bulunmayan iki boyutlu bir düzlem var. Şimdi bu düzlemi büküp küreye çevirdiğinizi ve sıfırın Güney Kutbu olduğunu, köşelerin de en tepede; Kuzey Kutbu olan yerde birleştiğini hayal edin. Bunun imkansız olduğunu düşünmeyin; bunu yaptık bile ve şimdi sonsuzluk Kuzey Kutbu.

Şimdi, bir başka sonsuz iki boyutlu düzlem alın ve onu ekvatorda küre boyunca dilimleyin. Bu düzlem üzerinde seçtiğiniz herhangi bir nokta, kürenin Kuzey Kutbu’na düz bir çizgiyle bağlanabilir. Eğer seçtiğiniz nokta, kürenin dışındaysa; bağlantı çizgisi küreyle Kuzey Yarımküre’de kesisecek. Eğer kürenin içerisindeyse, Güney Yarımküre’de kesisecek.

Hayal ettiğiniz şey, bir Riemann Küresi. Düzlemdeki her noktayı, küredeki bir kesişim noktasıyla ilişkilendirmeyi kapsayan bu yönteme stereografik yansıtma deniyor. Temel olarak, düzlem üzerinde bulabileceğiniz herhangi bir noktayı küre üzerinde bulabilirsiniz. Buna sonsuzluk da dahil. Düzlemde sonsuzluğa ne kadar yaklaşırsanız, kürenin Kuzey Kutbu’na da o kadar yaklaşırsınız.

Küre üzerindeki belirli bir noktayla kesişen ve düzlemde yer alan herhangi bir rakam (mesela, 1 bölü seçtiğiniz rakam), zıt yarımkürede aynı noktayla kesişen ters bir değere sahip (ör. 30 derece Kuzey’e karşılık 30 derece Güney). Eğer noktanız tam sıfıra gelirse, ters değerin sonsuz olması gerekir. Yani bir Riemann küresi üzerinde sıfıra bölmek, sonsuz ile çarpmakla aynı şey. Normalde bir sayıyı sıfıra bölmenin sonsuza eşit olduğunu söyleyemezsiniz, fakat Reimann küresinde bunu yapabilirsiniz.

Yazar: Ashley Hamer/Curiosity. Çeviren: Ozan Zaloğlu.